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2012年9月2日日曜日

モンティ・ホール問題に納得いかない

「モンティ・ホール問題」というものを知った。

有名な問題だそうだが、一応説明しておく。

3つのドアがあって、そのうちの1つが「当たり」のドアである。
あなたは1つのドアを選ぶ。
あなたが選んだ後、正解をしっている人(それがモンティ・ホールである)が、残りの2つのドアのうち、ハズレであるドアを選んで開けて見せる。
そしてあなたに、「最初の選択を変えてもいいですよ?どうしますか?」
と言ったときに、変えるべきか、という問題である。


先に正解を明かすと、「ドアを変えないと当たる確率は1/3、変えると2/3なので変えるべきである」
である。


この問題はアメリカのテレビ番組で取り上げられたのだが、正解の説明に納得できない人から問い合わせが殺到したそうである。

私もいまだに納得できない。

最初に当たりを選ぶ確率は1/3である。これはよい。

3つのドアをA、B、Cとし、Aを選んだとする。このとき、Bが当たりである確率も、Cが当たりである確率も1/3である。

その後、あなたが選ばなかったB、Cのうち、ハズレのドアが開けられる。それがBだったとする。
このとき、Aがあたりである確率よりも、Cがあたりである確率の方が高い、それも2倍だというのである。

多くの人が直感的には『変えても変えなくても同じ』と思うのではないだろうか。
『2つあるハズレのうちひとつがわかったのだから、自分が選択しているドアか、残りのドアのどちらかが当たりである、確率は1/2だ。当たっていますように・・・・』

私だったら絶対選択を変えないだろう。もし外れていたら後悔しきれないからだ。
ちなみにこの「当たり」の景品は自動車である。


あるサイトにシミュレーションがあったのでやってみた。
10回ずつやって、どちらも70%で当たりであった。
試行回数が少ないのでこれでは反証にならないかもしれないが、
私の直感と同じ結果である。


不思議なのはどうしてこの確率に納得できないのか、ということである。


ちょっとルールを変えた場合を考えてみる。
3つのドアのうちのハズレを最初に開けて、残りの二つのドアのどちらかを選ぶとしたらどうだろうか?
この場合はどちらを選んでも1/2であろう。


私はモンティ・ホール問題とこのケースが同じことのように思えてしまうのだが、
どうして違うのだろうか?